Se consideriamo una rete elettrica lineare alimentata da un generatore sinusoidale, in generale la tensione ai suoi capi e la corrente da esso erogata non sono in fase tra di loro; può capitare tuttavia che per particolari valori della frequenza del generatore o per particolari valori degli elementi reattivi che costituiscono il circuito (induttanze e capacità), la corrente erogata dal generatore e la tensione ai suoi capi sono in fase. Questa condizione del circuito si dice di risonanza. Indicando con Z = R + jX l'impedenza del circuito vista ai capi del generatore e ricordando che lo sfasamento tra tensione e corrente è dato da f = arctan (X/R), possiamo capire che una rete elettrica sarà in risonanza quando la parte immaginaria dell'impedenza (X) sarà nulla. Per poter essere in condizioni di risonanza quindi una rete elettrica passiva dovrà essere composta sia da induttori che da condensatori, in modo che gli sfasamenti di segno opposto si compensino tra di loro ad una certa frequenza, detta frequenza di risonanza. Esistono due tipi di circuiti risonanti: serie e parallelo. Io analizzerò il comportamento di un circuito risonante serie, anche perchè un circuito risonante parallelo ha simile comportamento.
Circuiti risonanti serie:
Nel circuito risonante serie, l'impedenza vista ai capi del generatore sarà data da:
Quindi perchè essa assuma valore minimo (e cioè uguale ad R), la reattanza capacitiva dev'essere uguale a quella induttiva (ricordando che le due reattanza sono di natura opposta e quindi si annullano); possiamo quindi scrivere:
dove f è la frequenza che porta in risonanza il circuito. Dato che l'impedenza sarà minima e uguale ad R, la corrente di risonanza assumerà il massimo valore, pari a I = V/R. Per sapere quanto i fenomeni reattivi (dovuti ad L e a C) siano influenti rispetto ai fenomeni dissipativi, possiamo introdurre il coefficiente di bontà (Q), un parametro definito come il rapporto tra la potenza reattiva induttiva (uguale e opposta a quella capacitiva) e la potenza attiva in gioco nella rete. Partendo da questa definizione, con un po di calcoli arriviamo a queste due formule per il calcolo del coefficiente di bontà:
Se il coefficiente di risonanza risulta maggiore dell'unità, cioè la reattanza induttiva (o capacitiva) è maggiore della resistenza R, avremo il fenomeno della sovratensione: la tensione ai capi degli elementi reattivi, risulterà maggiore della tensione di alimentazione del circuito. Prendiamo in esame ad esempio un circuito risonante serie con i seguenti componenti: R = 1Ω L = 10μH C = 1nF
Applicando la formula precedente, troviamo che il circuito va in risonanza ad una frequenza di 1592 kHz circa, con una pulsazione ω = 10 Mrad/sec. Il coefficiente di bontà sarà Q = ωL/R = 100. Supponendo che il circuito sia alimentato da un generatore di tensione sinusoidale di valore efficace pari a 1V, la corrente circolante nel circuito alla risonanza sarà pari a I = V/R = 1A. La tensione ai capi della resistenza risulta quindi pari a V=R*I= 1V, mentre la tensione ai capi dell'induttore e del condensatore risulta pari a Vc=Vl=Xc*I=(1/ωC)*I=(1/10*10^6*1*10^-9)*1=100V. Otteniamo una tensione 100 volte maggiore rispetto a quella sulla resistenza; possiamo notare che il rapporto tra la tensione sugli elementi reattivi e quella sulla resistenza è proprio il coefficiente di bontà Q. Un altro parametro del circuito risonante serie è la banda passante, data dalla differenza tra le due frequenze di taglio, che sono quelle due frequenze in corrispondenza delle quali la corrente assume valore pari al valore massimo (corrente di risonanza) diviso la radice di 2. Quindi nel nostro caso le frequenze di taglio si avranno in corrispondenza di una corrente pari a 1/1,414=0,7A.Tracciando un grafico cartesiano riportante la corrente al variare della frequenza nel circuito, è più semplice capire tutto (ho usato i valori del circuito precedente e ho calcolato al variare della frequenza la corrispondente corrente....il tutto con excel naturalmente..):
Per il calcolo della banda passante si usa la seguente formula: B = f/Q, dove f è la frequenza di risonanza e Q è il coefficiente di bontà. Per il calcolo delle frequenze di taglio, basta sottrarre (ottengo f1) o addizionare (ottengo f2) alla frequenza di risonanza la banda passante: f1 = f - B f2 = f + B.
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Questa pagina è stata creata da bitman il 08/02/2008 ore 15:08 ultima modifica del 08/02/2008 ore 16:59la pagina è stata visitata 4513 volte
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